Wachu - DevLog

Witam ponownie, tak jak powiedzialem ostatnio dzisiaj bedzie o liczabach zespolonych. Pomysl na napisanie kilku slow na ten temat podsnal mi moj kolega. Do rzeczy...

Za pomoca liczb zespolonych mozna w bardzo latwy sposob przedstawic obrot punktu wokol osi o podany kat. Wikipedia mowi nawet ze liczby zespolone mozna traktowac jak szczegolny przypadek kwaternionow. Zbadalem troche jak takie obroty mialyby wygladac i oto rezultaty.

Kazda liczbe zespolona najczesciej przedstawia sie w postaci: z = a + ib. Gdzie ReZ = a, ImZ = b (czesc rzeczywista i czesc urojona). Liczby rzeczywiste zawieraja sie w zbiorze liczb zespolonych i wystepuja w takiej postaci: a + i0.



Wprowadzmy teraz kilka oznaczen i definicji.

• sprzezenie liczby z = a - ib
• ArgZ mozemy interpretowac jako kat pomiedzy wektorem (a, b) i prosta OX
• modul liczby z oznaczamy przez |z| = sqrt( a² + b² )

Liczbe zespolona mozna przedstawic w postaci trygonometrycznej:

• z = | z | ( cos φ + isin φ )

Mnozenie liczb zespolonych wyraza sie wzorem (postac trygonometryczna):

• z1 * z2 = | z1 || z2 | ( cos (φ1 + φ2) + isin (φ1 + φ2) )

φ1, φ2 - sa to kolejno Arg z1 i Arg z2.

Teraz mozemy przejsc do liczenia obrotow. Jak widac ze wzoru na mnozenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej jesli modul jednej z liczb jest rowny 1 to wynikiem bedzie "obrot punktu" o kat φ (bez zmieniania "odleglosci tego punktu od osi obrotu").

Teraz pojawia sie problem jak obrocic jakis punkt znajac tylko kat o jaki chcemy go obrocic i jego pozycje? Wystarczy odpowiednio przeksztalcic ponizsze wzory:

cosφ = a / |z|
sinφ = b / |z|

Mamy wiec wszystkie dane do wzoru na mnozenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej. Jest jednak jeszcze jeden sposob na pomnozenie dwoch liczb zespolonych, bardziej tradycyjny:

(a, b) * (c, d) = (ac - bd, ad + bc)

przeksztalcamy wzory:

a = |z|cosφ
b = |z|sinφ

i podstawiamy spowrotem do wzoru na mnozenie:

(a, b) * (|z|cosφ, |z|sinφ) = (a|z|cosφ - b|z|sinφ, a|z|sinφ + b|z|cosφ)

W ten sposob mamy gotowy wzor na obrot punktu wokol punktu (0, 0). Obrot wokol dowolnego punktu mozna zrobic przez przesuciecie punktu do (0, 0), obrot i ponowne przesuniecie.

Wada przedstawiania obrotow na liczbach zespolonych jest to ze kat o jaki mozna obrocic punkt musi byc z przedzialu [0, 360). Oczywiscie przy odrobinie kreatywnosci mozna i ten problem przeskoczyc.

Najwieksza zaleta? Pozbycie sie macierzy z przestrzeni dwu wymiarowej, gdzie stosunek ich rozmiaru do zastosowania przechyla sie za bardzo na ich nie korzysc (wystarczy popatrzec na powyzsze wzory i pomyslec jak bardzo mozna je zoptymalizowac).